พิสูจน์ ทฤษฎี ปีทาโกรัส

เอาละครับวันนี้เราจะมาพูดถึงทฤษฎี ปีทาโกรัส พร้อมวิธีพิสูจน์ เพื่อให้คำตอบที่หลายคนฉงนสงสัยมานานแสนนาน


เกริ่นนำกันก่อนว่า ทฤษฎีปีทาโกรัสคือ ทฤษฎี สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให้ความสัมพันธ์ของด้านสามเหลี่ยมมุมฉากในแต่ละด้าน โดยความสัมพันธ์ที่ว่าเป็นไปตามสมการที่โชว์อยู่ด้านล่างเยี่ยงนี้แล

x² + y² = z²

เพื่อให้เห็นภาพนะครับ ก็ดูรูปด้านล่างนี้

ครับ มันดูธรรมดามาก คราวนี้เรามาถึงตอนพิสูจน์ครับว่า โลกนี้เกิดอะไรขึ้นกับ ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก จึงได้น่ารักน่าชังขนาดนี้

ดูรูปสี่เหลี่ยมด้านบนนี้นะครับ เราลองหาความสัมพันธ์ระหว่างสี่เหลี่ยมรูปใหญ่ กับสี่เหลี่ยมรูปเล็ก(สีส้ม) มีข้อสังเกตุนิดนึงครับว่า ไม่ว่าสามเหลี่ยม abc เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ก็จะสามารถสร้างสี่เหลี่ยมใหญ่แบบด้านบนได้
คราวนี้ดูพื้นที่สีส้มนะครับ เห็นได้ชัดว่าถ้าจะหาพื้นที่สี่เหลี่ยมสีส้มได้จาก 2 วิธี


วิธีที่ 1 ก็คือ เท่ากับ c² นั่นเอง
                                                         พื้นที่สี่เหลี่ยมสีส้ม       =   c²


วิธีที่ 2 ก็คือ เท่ากับ สี่เหลี่ยมรูปใหญ่ – สามเหลี่ยมสีขาว 4 รูป    =    ( a + b )² – 4 x ( 0.5 x a x b )
งานนี้ก็กระจายสมการ                                                           =    ( a² + 2ab + b² ) – 2 x a x b
                                                                                          =     a² + 2ab + b² – 2ab
                                                         พื้นที่สี่เหลี่ยมสีส้ม        =     a² + b²
ดังนั้นสรุปได้ว่า                                 พื้นที่สีเหลี่ยมสีส้ม          =     a² + b^{2               =     c2}


ซึ่งก็คือ ความสัมพันธ์ของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก abc นั่นเอง 
สรุปได้ว่า                                                                      a² + b^{2               =     c2}
นี่ครับก็เป็นที่มาของทฤษฎีสุด hits ที่เรียกว่า ทฤษฎีปีทาโกรัส ( Pitagoras ) นั่นเอง