ก่อนอื่นครับเรามาทำความรู้จักกับกฎเกณฑ์ของ L'hopital's rule คืออะไร กฎมันมีอยู่ว่า :
ในกรณีที่เป็นเศษ 0 ส่วน 0 หรือ infinity ส่วน infinity นะครับ
limit นี่จะเป็น lim x->c หมายความว่า c เป็นอะไรก็ได้นะครับ แต่สุดท้ายเป็นไปตามเงื่อนไขข้างบนละกัน คือ f(x) กับ g(x) ต้องเข้าใกล้ 0 คำถามคือว่า ถ้าไม่เป็น 0/0 หรือ infinity/infinity ทำไมจึงใช่ L'hospitals rule ไม่ได้… ก่อนที่จะมาทำความเข้าใจ เรามาดูที่ Taylor Series กันก่อนครับ
มันมีอยู่ว่า f(x) =
หรือ
คราวนี้กลับมาที่จะพิสูจน์ เพื่อชีวิตที่ง่ายขึ้น ให้ a เป็น c ไปก่อนละกัน สมมติ lim x->c แล้วได้ 0/0 มันก็หมายความว่า f(c) = 0 และ g(c)=0
ดังนั้น เพราะเราสมมติให้ limit เข้าใกล้ x->c เป็น c ดังนั้น f(a) คือ f(c) และ g(a) คือ g(c) เป็น ศูนย์ ยกแก๊ง…. พจน์แรกของ Taylor's Series หายไป เนื่องจากให้ a เป็น c และ lim x->c เป็นฉะนี้แล้ว (x-a) มันต้องเฉียดศูนย์อย่างแน่นอนคราวนี้ตัดตัวแรกซึ่งเป็น 0 แบบแท้ๆ ออกไปแล้ว ก็จะเหลือพจน์ที่ 2,3,4 … เยอะแยะ ที่เป็น 0 แบบปลอมๆ อยู่ แต่ความเป็น 0 ในพจน์ที่สองจะมีอิทธิพลเหนือพจน์อื่นๆ เพราะพจน์อื่นคูณด้วน (x-a) ในปริมาณที่มากกว่า
เมื่อเป็นเช่นนี้ก็ตัดพจน์ที่เหลือทิ้งไปเหลือพจน์ที่ 2 ตัวเดียว
1. f(x) กลายเป็น f'(x) * (x-a) / 1! และ g(x) กลายเป็น g'(x) * (x-a) / 1!
2. f(x)/g(x) ก็จะกลายเป็น f '(x) / g '(x) อย่างไม่น่าเชื่อเพราะว่าที่เหลือมันตัดกันหายหมด
ด้วยไอเดียเดิมๆ ทำให้ ถ้า f '(x) / g '(x) โดยแทนค่า x เป็น c แล้วทะลึ่งได้ 0 อีก จาก Taylor Series เราก็จะได้ 0 จริงๆ สองพจน์ คือพจน์แรก และพจน์ที่สอง ดังนั้น 0 ปลอมๆ ในพจน์ที่สามก็จะทำหน้าที่ dominate พจน์ที่เหลือแทน ทำให้ L'hospital rule สามารถ diff ไปได้เรื่อยๆ นั่นเอง
ส่วน infinity/infinity คงไม่ต้องอธิบายให้ยาก เป็นถ้า lim x->c ของ f(x) เป็น infinity แสดงว่า 1/f(x) เป็น 0 นั่นเอง เรื่องมันก็ย้อนกลับไปที่ 0/0 เหมือนเดิมนั่นเองครับ
0 ความคิดเห็น:
Post a Comment