พิสูจน์ Σx(ช่วง 1 ถึง n) = (n)(n+1)/2

สวัสดีครับท่านผู้อ่าน รูปด้านบนนี้เป็นรูปเหมือนของท่าน Gauß ครับ ส่วนจะเกี่ยวอะไรกับการพิสูจน์นั้นต้องลองอ่านดู

Σx(ช่วง 1 ถึง n) = (n)(n+1)/2

มีเรื่องเล่าว่า นักวิทยาศาสตร์ปราดเปรื่องท่านหนึ่งชื่อว่า Gauß (เป็นภาษาเยอรมัน ถ้า English = Gauss ถ้าภาษาไทย = เกาส์ นั่นเอง) ในตอนที่ท่าน Gauß เรียนชั้นประถม อาจารย์ที่สอนอยู่ก็ได้ออกข้อสอบเพื่อทดสอบความรู้ มีอยู่ข้อหนึ่งครับ ที่จะดูโหดร้ายสำหรับเด็กประถมมาก คือ ให้บวกเลข 1 ถึง 100 หมายถึง 1 + 2 + 3 + ไปเรื่อยๆ… ถึง 100

อาจารย์เห็นว่าเป็นเด็กประถม และน่าจะใช้เวลาในการหาคำตอบนานพอสมควร แต่จู่ๆ ไม่นานก็มี เด็กชายGauß โผล่ขึ้นมาภายในเวลาไม่กี่นาที วางดินสอ แล้วก็เดินออกจากห้อง ด้วยความตกตะลึง อาจารย์ก็คิดว่า "เด็กคนนี้สอบตกแน่นอน" แล้วก็เดินไปหยิบกระดาษคำตอบมาดูแล้วเห็นว่า ทำไมมันถูกต้องล่ะทีนี้ ช่างเป็นเด็กที่บวกเลขเร็วเหลือเกิน


จริงๆ Gauß เขาไม่ได้บวกเลขเร็วขนาดมองปุ๊ปตอบปั๊ป แต่เค้ามีหลักการที่ชาญฉลาดตั้งแต่อยู่ประถม หลักมีอยู่ว่า

คำตอบ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..ไปเรื่อยๆ จนถึง.. + 100

และถ้าทำการกลับด้าน

คำตอบ = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 +….. + 1

....มันมีประเด็น ถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่า

คำตอบ + คำตอบ = (1+100) + (2+99) + (3+98) + (4+97) + …… + (100+1)

หรือ 2 x คำตอบ = 101 บวกกัน 100 คู่นั่นเอง ซึ่งมันก็คือ

คำตอบ = (1+100) x (100) หาร 2



ครับผมตอนนี้ก็ย้อนกลับมาที่หัวเรื่องของเรา Σx(ช่วง 1 ถึง n) โดยใช้หลักการของ Gauss ครั้นยังเด็กว่า


คำตอบ = 1 + 2 + 3 +…. +n มีทั้งหมด n ตัว และ


คำตอบ = n + (n-1) + (n-2) + …. 1


เอามารวมกัน: 2 x คำตอบ = (n+1) ทั้งหมด n คู่


ฉะนี้ คำตอบ ก็จะเท่ากับ (n)(n+1)/2 นั่นเอง