ที่มาของค่า e เหตุผลที่ทำให้ e = 2.7182818…

หลายๆ ท่านคงสงสัยว่าทำไมค่า e มันจึงต้องเท่ากับ 2.7182818… ด้วยหล่ะ แล้วถ้ามันไม่มีที่มา ไอคนนั่งเขียนตัวเลขคนแรกทำไมมันถึงได้จินตนาการบรรเจิดขนาดนี้ ไม่คิดจะเอาตัวเลขที่มันลงตัวสวยๆ กันหน่อยเรอะ แท้จริงแล้วมันมีที่มาที่ไปครับ สาเหตุที่ต้องทศนิยมยาวเหยียดนี่ก็เป็นเพราะมันจำเป็นครับ เรามาดูที่มากันเลยดีกว่า

ก่อนอื่นจะครับ เรามาดูเรื่องที่ไม่น่าจะเกี่ยวข้องกันก่อนคือ ถามว่า d a^x / dx = เท่าใด… เรามาดูที่นิยามของการ differentiate ก่อนลงมือทำการใดๆ
d f(x) / dx มีความหมายเท่ากับ { f(x + dx) – f(x) } / dx โดยที่ lim (dx->0) นะครับ
กลับมาดูโจทย์เรา d a^x / dx  ก็จะมีค่าเท่ากับ { a^(x+dx) – a^x } / dx
หรือ d a^x / dx = {a^x x a^dx – a^x } / dx
ดึงตัวร่วม        = a^x x { a^dx – 1 } / dx 
ปัญหาเกิด อย่างเห็นได้ไม่ชัดเจน ฮ่าๆ…  ไอตัวนี้ครับ { a^dx - 1 } / dx  โดยที่ lim (dx->0) เรามั่วด้วยการแทน dx เป้น 0 จะได้ 0/0…. โฮ้เซ็งใช้ L'hospital rule ก็ไม่ช่วยเพราะเรายังไม่มีความรู้ครับว่า differentiation ของ a^xได้เท่าไหร่ เพราะถ้าเราจะพิสูจน์เราต้องทำเป็นว่าไม่เคยมีความรู้นี้มาก่อน (ให้นึกถึงคนที่มันคิดได้คนแรกละกัน)


ดังนี้ครับเราเลยมามั่วกันต่อ ว่า { a^dx - 1 } / dx จะเท่ากับเท่าไหร่…. มันจริงแท้แน่นอนครับว่ามันขึ้นอยู่กับว่า a มีค่าเท่าไหร่ด้วย


ความจริงเราอยากให้ { a^dx - 1 } / dx = 1 ครับ เพราะถ้ามันเป็น 1 แล้วไซร้ เห็นได้ชัดว่าความเจ๋งเป้งจะเกิดขึ้น เพราะว่า


d a^x / dx = {a^x x a^dx - a^x } / dx = a^x x { a^dx - 1 } / dx = a^x x 1 = a^x
ถ้าเป็นเช่นนี้แสดงว่า d a^x / dx = a^x ปัญหาคือว่าแล้ว a ต้องมีค่าเท่าไหร่จึงจะทำให้ { a^dx - 1 } / dx = 1 หล่ะครับพี่น้อง


อยากรู้ก็หาดิช้าอยู่ทำไม 
จะได้ว่า { a^dx - 1 } / dx = 1 ดังนั้นย้ายไปย้ายมาจะได้ a = ( dx + 1 )^1/dx
โดยที่  lim (dx->0) มันทำให้กดเครื่องคิดเลขได้ไม่มันมือ เมื่อ  lim (dx->0) เลยให้ m = 1/dx ซึ่งทำให้  lim (m->infinity)
a = ( dx + 1 )^1/dx กลายเป็น a = ( 1/m + 1 )^m นั่นเอง ก็ลองแทนค่า m ดูครับซัก 1000 ล้าน จริงๆ มันต้อง infinity อะนะครับ แต่ซัก 1000 ล้านก็จะเห็นภาพคร่าวๆ ละ
พบว่า a = 2.71828…. อะไรซักอย่าง ยิ่งแทนใกล้ infinity เท่าไหร่ก็จะยิ่งได้ค่าที่แล้วจริงของ a เท่านั้นครับ


และแล้ว ตัวเลขคุ้นๆ ก็เกิดขึ้น… ต่อมาไม่ทราบว่าทำไม มีคนเรียกค่า a ที่เราหาได้เมื่อตะกี้ว่า e นั่นเอง


คราวนี้เราก็ทราบที่มาของ e แล้วนะครับ และถ้าเราอยากทะลึ่งหาค่าที่ทำให้ d a^x / dx = 2 a^x ก็ได้ตามสะดวก จะตั้งชื่อเป็นค่า ฮ หรือ ค อะไรก็แล้วแต่ ปัญหาคืออยู่ที่จะมีคนใช้รึเปล่า… ครับผมคราวหน้าถ้าไม่ลืมผมจะพิสูจน์ให้ดูว่าทำไม e^x ถึงเท่ากับ 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … (ไปเรื่อยๆ) นะคร้าบ